Упр.18.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{13\pi}{6}-2x\right)=0$$; б) $$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\cos\left(\frac{47\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$$.

Подробный ответ

а) Используем периодичность тригонометрических функций:

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{13\pi}{6}-2x\right)=0$$

$$\cos\left(\frac{13\pi}{6}-2x\right)=\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{6}-2x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)$$

Тогда

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=0$$

Так как $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right),$$ получаем

$$-\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=0$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=0$$

$$\tg\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=1$$

$$\frac{\pi}{6}-2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$2x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}-\pi n=-\frac{\pi}{12}-\pi n$$

$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

б) Преобразуем правую часть:

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3\cos\left(\frac{47\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$$

$$\cos\left(\frac{47\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)=\cos\left(16\pi+\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$$

Тогда

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$$

Раскроем левую и правую части по формулам сложения:

$$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{x}{2}\sin\frac{\pi}{3} =\sqrt3\left(\cos\frac{x}{2}\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{x}{2}\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

$$\frac12\sin\frac{x}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cos\frac{x}{2} =\sqrt3\left(\frac12\cos\frac{x}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\sin\frac{x}{2}\right)$$

$$\frac12\sin\frac{x}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cos\frac{x}{2} =\frac{\sqrt3}{2}\cos\frac{x}{2}+\frac32\sin\frac{x}{2}$$

$$-\sin\frac{x}{2}=0$$

$$\sin\frac{x}{2}=0$$

$$\frac{x}{2}=\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

$$x=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$