Упр.18.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$|\sin x|=|\cos x|$$;
   б) $$\sqrt{3}\operatorname{ctg}x=2|\cos x|$$;
   в) $$|\sin 2x|=|\sqrt{3}\cos 2x|$$;
   г) $$\sqrt{2}\operatorname{tg}x+2|\sin x|=0$$.

а) $$|\sin x|=|\cos x|$$

Так как $$\cos x\neq 0$$, разделим обе части на $$|\cos x|$$:

$$\left|\tg x\right|=1$$

Отсюда

$$\tg x=\pm 1$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$\sqrt{3}\,\ctg x=2|\cos x|$$

ОДЗ: $$\sin x\neq 0$$.

Преобразуем уравнение:

$$\sqrt{3}\,\frac{\cos x}{\sin x}=2|\cos x|$$

$$\sqrt{3}\cos x=2\sin x\cdot |\cos x|$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$\cos x>0$$, то $$|\cos x|=\cos x$$ и

$$\sqrt{3}\cos x=2\sin x\cos x$$

$$\cos x(\sqrt{3}-2\sin x)=0$$

$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2) Если $$\cos x<0$$, то $$|\cos x|=-\cos x$$ и

$$\sqrt{3}\cos x=-2\sin x\cos x$$

$$\cos x(\sqrt{3}+2\sin x)=0$$

$$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Кроме того, при $$\cos x=0$$ исходное уравнение выполняется.

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

в) $$|\sin 2x|=|\sqrt{3}\cos 2x|$$

Так как $$\cos 2x\neq 0$$, разделим обе части на $$|\cos 2x|$$:

$$\left|\tg 2x\right|=\sqrt{3}$$

Отсюда

$$\tg 2x=\pm \sqrt{3}$$

Следовательно,

$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

г) $$\sqrt{2}\,\tg x+2|\sin x|=0$$

ОДЗ: $$\cos x\neq 0$$.

Преобразуем:

$$\sqrt{2}\,\frac{\sin x}{\cos x}+2|\sin x|=0$$

$$\sqrt{2}\sin x+2\cos x\cdot |\sin x|=0$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$\sin x=0$$, то

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2) Если $$\sin x>0$$, то $$|\sin x|=\sin x$$ и

$$\sqrt{2}\sin x+2\cos x\sin x=0$$

$$\sin x(\sqrt{2}+2\cos x)=0$$

$$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3) Если $$\sin x<0$$, то $$|\sin x|=-\sin x$$ и

$$\sqrt{2}\sin x-2\cos x\sin x=0$$

$$\sin x(\sqrt{2}-2\cos x)=0$$

$$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; в) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}$$; г) $$x=\pi n,\ -\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$.