Упр.18.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область значений функции:
   а) $$y=\cos 3x+\sqrt{\cos^2 3x-1}$$;
   б) $$y=\sin 2x+\sqrt{\sin^2 4x-1}$$.

а) Обозначим $$t=\cos 3x.$$ Тогда

$$y=t+\sqrt{t^2-1}.$$

Для существования корня нужно, чтобы

$$t^2-1\ge 0,$$

а так как $$t=\cos 3x,$$ то $$-1\le t\le 1.$$

Совместно получаем только $$t=\pm 1.$$

Тогда

$$y=1+\sqrt{1-1}=1,$$

или

$$y=-1+\sqrt{1-1}=-1.$$

Значит, область значений функции:

$$E(y)=\{-1;1\}.$$

б) Обозначим $$t=\sin 4x.$$ Тогда

$$y=\sin 2x+\sqrt{t^2-1}.$$

Для существования корня нужно, чтобы

$$t^2-1\ge 0.$$

Но $$t=\sin 4x,$$ поэтому $$-1\le t\le 1,$$ и значит возможно только

$$t=\pm 1.$$

Тогда $$\sin 4x=\pm 1,$$ откуда

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}.$$

При таких значениях $$x$$ имеем

$$\sin 2x=\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right)=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно, область значений функции:

$$E(y)=\left\{-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right\}.$$

Ответ: а) $$\{-1;1\}$$; б) $$\left\{-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right\}$$.