Упр.18.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)\sqrt{4x^2-7x+3}=0$$; б) $$\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)\sqrt{3x^2-7x+4}=0$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)\sqrt{4x^2-7x+3}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$4x^2-7x+3\ge 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=49-48=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{8},\quad x_1=\frac34,\quad x_2=1.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$4x^2-7x+3\ge 0 \iff x\le \frac34 \ \text{или}\ x\ge 1.$$

Теперь решим первое уравнение:

$$\sqrt{2}\cos x-1=0,$$

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

С учётом области определения получаем, что подходят только значения

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Кроме того, при

$$\sqrt{4x^2-7x+3}=0$$

имеем

$$x=\frac34 \ \text{или}\ x=1.$$

Итак,

$$x=\frac34,\ 1,\ -\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)\sqrt{3x^2-7x+4}=0.$$

Требуется, чтобы

$$3x^2-7x+4\ge 0.$$

Найдём корни трёхчлена:

$$D=7^2-4\cdot 3\cdot 4=49-48=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{6},\quad x_1=1,\quad x_2=\frac43.$$

Следовательно,

$$3x^2-7x+4\ge 0 \iff x\le 1 \ \text{или}\ x\ge \frac43.$$

Решим первое уравнение:

$$2\sin x-\sqrt{3}=0,$$

$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

С учётом области определения получаем все найденные значения, а также корни подкоренного выражения:

$$x=1,\ \frac43,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac34,\ 1,\ -\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=1,\ \frac43,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$