Упр.18.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{16-x^2}\cdot\sin x=0$$; б) $$\sqrt{7x-x^2}\cdot(2\cos x-1)=0$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{16-x^2}\cdot \sin x=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом должно выполняться условие существования корня:

$$16-x^2\ge 0,$$

откуда

$$-4\le x\le 4.$$

Теперь решаем уравнения:

$$\sqrt{16-x^2}=0 \;\Rightarrow\; 16-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 4,$$

$$\sin x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

На отрезке $$[-4;4]$$ получаем значения $$x=-\pi,\;0,\;\pi.$$

Итак, решения уравнения:

$$x=-4,\,-\pi,\,0,\,\pi,\,4.$$

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{7x-x^2}\cdot (2\cos x-1)=0.$$

Сначала найдём область определения:

$$7x-x^2\ge 0,$$

$$x(7-x)\ge 0,$$

откуда

$$0\le x\le 7.$$

Теперь решаем уравнения:

$$\sqrt{7x-x^2}=0 \;\Rightarrow\; 7x-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=0 \text{ или } x=7,$$

$$2\cos x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos x=\frac12 \;\Rightarrow\; x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

На отрезке $$[0;7]$$ подходят значения

$$x=\frac{\pi}{3},\quad x=\frac{5\pi}{3}.$$

Следовательно, решения уравнения:

$$x=0,\;\frac{\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3},\;7.$$

Ответ

а) $$-4,\,-\pi,\,0,\,\pi,\,4$$; б) $$0,\;\frac{\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3},\;7$$.