Упр.18.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$3\sin^2 2x — 2 = \sin 2x \cdot \cos 2x$$
• б) $$2\sin^2 4x — 4 = 3\sin 4x \cdot \cos 4x — 4\cos^2 4x$$

а) Преобразуем уравнение:

$$3\sin^2 2x-2=\sin 2x\cos 2x$$

$$3\sin^2 2x-2(\sin^2 2x+\cos^2 2x)-\sin 2x\cos 2x=0$$

$$\sin^2 2x-\sin 2x\cos 2x-2\cos^2 2x=0$$

Разделим на $$\cos^2 2x$$:

$$\tg^2 2x-\tg 2x-2=0$$

Пусть $$t=\tg 2x$$. Тогда

$$t^2-t-2=0$$

$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0$$

Отсюда $$t=2$$ или $$t=-1$$.

1) $$\tg 2x=2$$, значит

$$2x=\arctg 2+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2}.$$

2) $$\tg 2x=-1$$, значит

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}.$$

Итак,

$$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2},\quad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$2\sin^2 4x-4=3\sin 4x\cos 4x-4\cos^2 4x$$

$$2\sin^2 4x-4(\sin^2 4x+\cos^2 4x)-3\sin 4x\cos 4x+4\cos^2 4x=0$$

$$-2\sin^2 4x-3\sin 4x\cos 4x=0$$

$$-\sin 4x\left(2\sin 4x+3\cos 4x\right)=0$$

Отсюда:

1) $$\sin 4x=0$$, тогда

$$4x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi k}{4}.$$

2) $$2\sin 4x+3\cos 4x=0$$, тогда

$$2\tg 4x+3=0,$$

$$\tg 4x=-\frac32.$$

Следовательно,

$$4x=-\arctg\frac32+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac14\arctg\frac32+\frac{\pi k}{4}.$$

Итак,

$$x=-\frac14\arctg\frac32+\frac{\pi k}{4},\quad x=\frac{\pi k}{4},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2},\; x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac14\arctg\frac32+\frac{\pi k}{4},\; x=\frac{\pi k}{4},\; k\in\mathbb Z.$$