Упр.18.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x=5$$;

б) $$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x=4$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x=5$$

$$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x-5(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$\cos^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(\cos x+\sqrt{3}\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0$$

или

$$\cos x+\sqrt{3}\sin x=0$$

Во втором случае делим на $$\cos x$$:

$$1+\sqrt{3}\tg x=0$$

$$\tg x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$x=-\arctg\frac{1}{\sqrt{3}}+\pi n=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Из первого уравнения:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x=4$$

$$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x-4(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$-2\sin^2 x-3\sin x\cos x=0$$

$$-\sin x(2\sin x+3\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0$$

или

$$2\sin x+3\cos x=0$$

Во втором случае делим на $$\cos x$$:

$$2\tg x+3=0$$

$$\tg x=-\frac{3}{2}$$

$$x=-\arctg\frac{3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Из первого уравнения:

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ: $$\pi n,\ -\arctg\frac{3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$