Упр.18.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$2\sin^2 2x — 5\sin 2x \cdot \cos 2x + 2\cos^2 2x = 0$$; б) $$3\sin^2 3x + 10\sin 3x \cdot \cos 3x + 3\cos^2 3x = 0$$.

а) Разделим уравнение на $$\cos^2 2x$$:

$$2\sin^2 2x-5\sin 2x\cos 2x+2\cos^2 2x=0$$
$$2\tg^2 2x-5\tg 2x+2=0$$

Пусть $$t=\tg 2x$$. Тогда

$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$
$$t_1=2,\qquad t_2=\frac12$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\tg 2x=2 \Rightarrow 2x=\arctg 2+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
$$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2}$$
$$\tg 2x=\frac12 \Rightarrow 2x=\arctg \frac12+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
$$x=\frac12\arctg \frac12+\frac{\pi k}{2}$$

б) Разделим уравнение на $$\cos^2 3x$$:

$$3\sin^2 3x+10\sin 3x\cos 3x+3\cos^2 3x=0$$
$$3\tg^2 3x+10\tg 3x+3=0$$

Пусть $$t=\tg 3x$$. Тогда

$$3t^2+10t+3=0$$
$$D=100-36=64$$
$$t_{1,2}=\frac{-10\pm 8}{6}$$
$$t_1=-\frac13,\qquad t_2=-3$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\tg 3x=-\frac13 \Rightarrow 3x=\arctg\left(-\frac13\right)+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac13\arctg \frac13+\frac{\pi k}{3}$$
$$\tg 3x=-3 \Rightarrow 3x=\arctg(-3)+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac13\arctg 3+\frac{\pi k}{3}$$

Ответ

а) $$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2},\ \ x=\frac12\arctg \frac12+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac13\arctg \frac13+\frac{\pi k}{3},\ \ x=-\frac13\arctg 3+\frac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z.$$