Упр.18.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin^2 x-\frac{12-\sqrt{2}}{2}\sin x-3\sqrt{2}=0$$; б) $$\cos^2 x-\frac{8-\sqrt{3}}{2}\cos x-2\sqrt{3}=0$$.

а) Сделаем замену $$\sin x=t.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$t^2-\frac{12-\sqrt2}{2}t-3\sqrt2=0.$$

Умножим его на $$2$$:

$$2t^2-(12-\sqrt2)t-6\sqrt2=0.$$

Разложим на множители:

$$2t^2-12t+\sqrt2\,t-6\sqrt2=0$$

$$2t(t-6)+\sqrt2(t-6)=0$$

$$\bigl(t-6\bigr)\bigl(2t+\sqrt2\bigr)=0.$$

Отсюда

$$t=6 \quad \text{или} \quad t=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Значение $$t=6$$ не подходит, так как $$\sin x$$ не может быть больше $$1$$ по модулю. Значит,

$$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Сделаем замену $$\cos x=t.$$ Тогда

$$t^2-\frac{8-\sqrt3}{2}t-2\sqrt3=0.$$

Умножим на $$2$$:

$$2t^2-(8-\sqrt3)t-4\sqrt3=0.$$

Разложим на множители:

$$2t^2-8t+\sqrt3\,t-4\sqrt3=0$$

$$2t(t-4)+\sqrt3(t-4)=0$$

$$\bigl(t-4\bigr)\bigl(2t+\sqrt3\bigr)=0.$$

Отсюда

$$t=4 \quad \text{или} \quad t=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Значение $$t=4$$ не подходит, так как $$\cos x$$ не может быть больше $$1$$ по модулю. Значит,

$$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.