Упр.18.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}=0$$;

б) $$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-3=0$$;

в) $$\sqrt{3}\tg^2 3x-3\tg 3x=0$$;

г) $$4\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0$$.

а) $$2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt3\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\cos\frac{x}{2}\left(2\cos\frac{x}{2}+\sqrt3\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 2\cos\frac{x}{2}+\sqrt3=0.$$

1) $$\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n.$$

2) $$2\cos\frac{x}{2}+\sqrt3=0 \Rightarrow \cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi n.$$

Ответ: $$x=\pi+2\pi n,\ \ x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-3=0$$

$$\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac34$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

1) $$x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

2) $$x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=\pi n.$$

Ответ: $$x=\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sqrt3\,\tg^2 3x-3\tg 3x=0$$

$$\tg 3x\left(\sqrt3\,\tg 3x-3\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg 3x=0 \quad \text{или} \quad \tg 3x=\sqrt3.$$

1) $$\tg 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}.$$

2) $$\tg 3x=\sqrt3 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{3},\ \ x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$4\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0$$

$$\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac14$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\pm\frac12.$$

1) $$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow 2x=-\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow 2x=-\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ \ x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$