Упр.18.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\operatorname{tg} x-2\operatorname{ctg} x+1=0$$; б) $$\frac{\operatorname{tg} x+5}{2}=\frac{1}{\cos^2 x}$$; в) $$2\operatorname{ctg} x-3\operatorname{tg} x+5=0$$; г) $$\frac{7-\operatorname{ctg} x}{4}=\frac{1}{\sin^2 x}$$.

а) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$\tg x-2\ctg x+1=0$$
$$y-\frac{2}{y}+1=0$$
$$y^2+y-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\qquad y_2=-2.$$

Тогда

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу $$\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x.$$ Тогда

$$\frac{\tg x+5}{2}=\frac{1}{\cos^2 x}$$
$$\frac{\tg x+5}{2}=1+\tg^2 x$$
$$\tg x+5=2+2\tg^2 x$$
$$2\tg^2 x-\tg x-3=0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$2y^2-y-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac{3}{2},\qquad y_2=-1.$$

Значит,

$$\tg x=\frac{3}{2} \Rightarrow x=\arctg\frac{3}{2}+\pi n,$$
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$2\ctg x-3\tg x+5=0$$
$$\frac{2}{y}-3y+5=0$$
$$2-3y^2+5y=0$$
$$3y^2-5y-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}.$$

Получаем:

$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n,$$
$$\tg x=-\frac{1}{3} \Rightarrow x=-\arctg\frac{1}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) Используем формулу $$\dfrac{1}{\sin^2 x}=1+\ctg^2 x.$$ Тогда

$$\frac{7-\ctg x}{4}=\frac{1}{\sin^2 x}$$
$$\frac{7-\ctg x}{4}=1+\ctg^2 x$$
$$7-\ctg x=4+4\ctg^2 x$$
$$4\ctg^2 x+\ctg x-3=0.$$

Пусть $$y=\ctg x.$$ Тогда

$$4y^2+y-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=1^2-4\cdot 4\cdot(-3)=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{8}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac{3}{4},\qquad y_2=-1.$$

Значит,

$$\ctg x=\frac{3}{4} \Rightarrow x=\arctg\frac{4}{3}+\pi n,$$
$$\ctg x=-1 \Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac{3}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=-\arctg\frac{1}{3}+\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac{4}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$