Упр.18.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   
   а) $$\sin^2\frac{3x}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin x-\cos^2\frac{3x}{2}+1$$;
   
   б) $$\cos^2 2x-1-\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin^2 2x$$.

а) Преобразуем уравнение, используя тождество $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$$:

$$\sin^2 \frac{3x}{4}-\frac{\sqrt2}{2}=\sin x-\cos^2 \frac{3x}{4}+1$$

$$\sin^2 \frac{3x}{4}+\cos^2 \frac{3x}{4}-\frac{\sqrt2}{2}-1=\sin x$$

$$1-\frac{\sqrt2}{2}-1=\sin x$$

$$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$$

Тогда

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin \frac{\sqrt2}{2}+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) Аналогично, применим тождество $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$$:

$$\cos^2 2x-1-\cos x=\frac{\sqrt3}{2}-\sin^2 2x$$

$$\cos^2 2x+\sin^2 2x-1-\frac{\sqrt3}{2}=\cos x$$

$$1-1-\frac{\sqrt3}{2}=\cos x$$

$$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Следовательно,

$$x=\pm \arccos\!\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$