Упр.18.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1$$ и найдите: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$; в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right)$$.

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1$$

Так как $$\sin t=-1$$ при $$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ то

$$2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

$$2x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

а)

Найдём наименьший положительный корень:

$$-\frac{\pi}{8}+\pi n>0$$

При $$n=1$$ получаем

$$x=-\frac{\pi}{8}+\pi=\frac{7\pi}{8}.$$

При $$n=0$$ корень отрицательный, значит наименьший положительный корень равен $$\frac{7\pi}{8}$$.

б)

Найдём корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$

$$-\frac{\pi}{2}\le -\frac{\pi}{8}+\pi n\le \frac{3\pi}{2}$$

$$-\frac{1}{2}\le -\frac{1}{8}+n\le \frac{3}{2}$$

$$-\frac{3}{8}\le n\le \frac{13}{8}.$$

Отсюда $$n=0,1.$$ Тогда

$$x_1=-\frac{\pi}{8},\qquad x_2=\frac{7\pi}{8}.$$

в)

Найдём наибольший отрицательный корень:

$$-\frac{\pi}{8}+\pi n<0$$

При $$n=0$$ получаем

$$x=-\frac{\pi}{8}.$$

Это и есть наибольший отрицательный корень.

г)

Найдём корни, принадлежащие интервалу $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right).$$

$$-\pi<-\frac{\pi}{8}+\pi n<\frac{\pi}{2}$$

$$-1<-\frac{1}{8}+n<\frac{1}{2}$$

$$-\frac{7}{8}<n<\frac{5}{8}.$$

Следовательно, $$n=0,$$ и

$$x=-\frac{\pi}{8}.$$

Ответ: а) $$\frac{7\pi}{8}$$; б) $$-\frac{\pi}{8},\ \frac{7\pi}{8}$$; в) $$-\frac{\pi}{8}$$; г) $$-\frac{\pi}{8}$$.