Упр.18.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin^2 x+2\sin x\cdot\cos x-3\cos^2 x=0$$; б) $$\sin^2 x-4\sin x\cdot\cos x+3\cos^2 x=0$$; в) $$\sin^2 x+\sin x\cdot\cos x-2\cos^2 x=0$$; г) $$3\sin^2 x+\sin x\cdot\cos x-2\cos^2 x=0$$.

Решим каждое уравнение, разделив на $$\cos^2 x$$. При этом $$\cos x \ne 0$$, но найденные далее корни этому условию удовлетворяют.

а)

$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$
$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+2\frac{\sin x}{\cos x}-3=0$$
$$\tg^2 x+2\tg x-3=0$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2+2t-3=0$$
$$(t-1)(t+3)=0$$
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=-3$$
Следовательно,
$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-3$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$
$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-4\frac{\sin x}{\cos x}+3=0$$
$$\tg^2 x-4\tg x+3=0$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2-4t+3=0$$
$$(t-1)(t-3)=0$$
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=3$$
Значит,
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

в)

$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+\frac{\sin x}{\cos x}-2=0$$
$$\tg^2 x+\tg x-2=0$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2+t-2=0$$
$$(t-1)(t+2)=0$$
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=-2$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г)

$$3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
$$3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+\frac{\sin x}{\cos x}-2=0$$
$$3\tg^2 x+\tg x-2=0$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$3t^2+t-2=0$$
$$D=1-4\cdot 3\cdot(-2)=25$$
$$t=\frac{-1\pm 5}{6}$$
$$t_1=\frac{2}{3}, \quad t_2=-1$$
Значит,
$$x=\arctg \frac{2}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg \frac{2}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.