Упр.18.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin^2 x+\sin x\cdot\cos x=0$$; б) $$\sqrt{3}\sin x\cdot\cos x+\cos^2 x=0$$; в) $$\sin^2 x=3\sin x\cdot\cos x$$; г) $$\sqrt{3}\cos^2 x=\sin x\cdot\cos x$$.

а) $$\sin^2 x+\sin x\cos x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin x(\sin x+\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0$$

Если $$\sin x=0$$, то

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Если $$\sin x+\cos x=0$$, то

$$\tg x=-1$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(\sqrt3\sin x+\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt3\sin x+\cos x=0$$

Если $$\cos x=0$$, то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Если $$\sqrt3\sin x+\cos x=0$$, то

$$\tg x=-\frac{1}{\sqrt3}$$

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$\sin^2 x=3\sin x\cos x$$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\sin^2 x-3\sin x\cos x=0$$

$$\sin x(\sin x-3\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-3\cos x=0$$

Если $$\sin x=0$$, то

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Если $$\sin x-3\cos x=0$$, то

$$\tg x=3$$

$$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$\sqrt3\cos^2 x=\sin x\cos x$$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\sqrt3\cos^2 x-\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(\sqrt3\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt3\cos x-\sin x=0$$

Если $$\cos x=0$$, то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Если $$\sqrt3\cos x-\sin x=0$$, то

$$\tg x=\sqrt3$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$