Упр.17.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arctg(-1)+\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$$; б) $$3\arcsin\frac{1}{2}+4\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$; в) $$\arctg(-\sqrt{3})+\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arcsin 1$$; г) $$\arcsin(-1)-\frac{3}{2}\arccos\frac{1}{2}+3\arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$.

Воспользуемся значениями основных тригонометрических функций:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\pi}{3},\quad \arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},\quad \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$$
$$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},\quad \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi}{4},\quad \arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi}{6}$$
$$\arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3},\quad \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi}{6},\quad \arcsin 1=\frac{\pi}{2}$$
$$\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2},\quad \arccos\frac12=\frac{\pi}{3},\quad \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}$$

Ход решения

1. $$2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arctg(-1)+\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$$
   $$=2\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=-\frac{2\pi}{3}$$

2. $$3\arcsin\frac12+4\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$
   $$=3\cdot\frac{\pi}{6}+4\cdot\frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$
   $$=\frac{\pi}{2}+3\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{3}$$

3. $$\arctg(-\sqrt{3})+\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arcsin 1$$
   $$=-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\pi$$

4. $$\arcsin(-1)-\frac{3}{2}\arccos\frac12+3\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$
   $$=-\frac{\pi}{2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{3}+3\cdot\frac{2\pi}{3}$$
   $$=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+2\pi=\pi$$

Ответ

$$-\frac{2\pi}{3};\ \frac{11\pi}{3};\ \pi;\ \pi$$