Упр.17.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Вычислите:

а) $$\sin\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4}\right)$$;

б) $$\cos\left(\operatorname{arcctg}\frac{12}{5}\right)$$;

в) $$\sin\left(\operatorname{arcctg}\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$;

г) $$\cos\left(\operatorname{arctg}\left(-\frac{5}{12}\right)\right)$$.

Подробный ответ

Используем определения тригонометрических функций для углов, заданных через арктангенс и арккотангенс.

$$\sin(\arctg \frac{3}{4})$$
Пусть $$t=\arctg \frac{3}{4}$$, тогда $$\tg t=\frac{3}{4}$$ и $$t$$ лежит в I или IV четверти, значит $$\cos t>0$$.
Тогда
$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=\frac{4}{5}.$$
Следовательно,
$$\sin(\arctg \frac{3}{4})=\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}.$$
$$\cos(\arcctg \frac{12}{5})$$
Пусть $$t=\arcctg \frac{12}{5}$$, тогда $$\ctg t=\frac{12}{5}$$ и $$t$$ лежит в I или II четверти, значит $$\sin t>0$$.
Тогда
$$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=\frac{5}{13}.$$
Следовательно,
$$\cos(\arcctg \frac{12}{5})=\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{12}{13}.$$
$$\sin(\arcctg \frac{-4}{3})$$
Пусть $$t=\arcctg \frac{-4}{3}$$, тогда $$\ctg t=-\frac{4}{3}$$. Для арккотангенса берём угол из интервала $$0<t<\pi$$, значит $$t$$ лежит во II четверти и $$\sin t>0$$.
Тогда
$$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{4}{3}\right)^2}}=\frac{3}{5}.$$
Следовательно,
$$\sin(\arcctg \frac{-4}{3})=\frac{3}{5}.$$
$$\cos(\arctg \frac{-5}{12})$$
Пусть $$t=\arctg \frac{-5}{12}$$, тогда $$\tg t=-\frac{5}{12}$$ и $$t$$ лежит в I или IV четверти, значит $$\cos t>0$$.
Тогда
$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{5}{12}\right)^2}}=\frac{12}{13}.$$
Следовательно,
$$\cos(\arctg \frac{-5}{12})=\frac{12}{13}.$$