Упр.17.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   а) $$y=\arccos 2x+\arccos(-2x)$$;
   б) $$y=\arccos\frac{1}{x}+\arccos\left(-\frac{1}{x}\right)$$;
   в) $$y=\operatorname{arcctg}x+\operatorname{arcctg}(-x)$$;
   г) $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})$$.

а) Для функции $$y=\arccos 2x+\arccos(-2x)$$ используем формулу $$\arccos(-t)=\pi-\arccos t.$$ Тогда

$$y=\arccos 2x+\pi-\arccos 2x=\pi.$$

Область определения задаётся условием

$$-1\le 2x\le 1,$$

откуда

$$-\frac12\le x\le \frac12.$$

Значит, график — отрезок прямой $$y=\pi$$ при $$x\in\left[-\frac12;\frac12\right].$$

б) Для функции $$y=\arccos\frac1x+\arccos\left(-\frac1x\right)$$ получаем

$$y=\arccos\frac1x+\pi-\arccos\frac1x=\pi.$$

Область определения:

$$-1\le \frac1x\le 1,$$

то есть

$$|x|\ge 1.$$

Следовательно, график состоит из двух лучей прямой $$y=\pi$$ при $$x\le -1$$ и $$x\ge 1.$$

в) Для функции $$y=\operatorname{arcctg}x+\operatorname{arcctg}(-x)$$ используем свойство

$$\operatorname{arcctg}(-x)=\pi-\operatorname{arcctg}x.$$

Тогда

$$y=\operatorname{arcctg}x+\pi-\operatorname{arcctg}x=\pi.$$

Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$

График — вся прямая $$y=\pi.$$

г) Для функции $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})$$ имеем

$$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})=\pi-\operatorname{arcctg}\sqrt{x},$$

поэтому

$$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\pi-\operatorname{arcctg}\sqrt{x}=\pi.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Значит, график — луч прямой $$y=\pi$$ при $$x\ge 0.$$

Ответ

а) $$y=\pi,\quad x\in\left[-\frac12;\frac12\right].$$

б) $$y=\pi,\quad |x|\ge 1.$$

в) $$y=\pi,\quad x\in\mathbb{R}.$$

г) $$y=\pi,\quad x\ge 0.$$