Упр.17.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\tg(\pi+x)=\sqrt{3}$$; б) $$2\ctg(2\pi+x)-\tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sqrt{3}$$; в) $$-\sqrt{3}\tg(\pi-x)=1$$; г) $$\ctg(2\pi-x)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=2$$.

Используем формулы приведения:

1. $$\tg(\pi+x)=\tg x$$

   Тогда

   $$\tg x=\sqrt{3}$$
   $$x=\arctg \sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

2. $$2\ctg(2\pi+x)-\tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sqrt{3}$$
   $$2\ctg x-\left(-\ctg x\right)=\sqrt{3}$$
   $$3\ctg x=\sqrt{3}$$
   $$\ctg x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
   $$x=\arcctg \frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$
3. $$-\sqrt{3}\,\tg(\pi-x)=1$$
   $$-\sqrt{3}\,(-\tg x)=1$$
   $$\sqrt{3}\,\tg x=1$$
   $$\tg x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
   $$x=\arctg \frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$
4. $$\ctg(2\pi-x)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=2$$
   $$-\ctg x-\ctg x=2$$
   $$-2\ctg x=2$$
   $$\ctg x=-1$$
   $$x=\arcctg(-1)+\pi n=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.