Упр.16.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область допустимых значений выражения: а) $$\arcsin x$$; б) $$\arcsin(5-2x)$$; в) $$\arcsin\frac{x}{2}$$; г) $$\arcsin(x^2-3)$$.

Для арксинуса нужно, чтобы его аргумент принадлежал отрезку $$[-1;1].$$

Ход решения

1. $$\arcsin x$$

   Требуется:

   $$-1 \le x \le 1$$

   Значит, $$x \in [-1;1].$$

2. $$\arcsin(5-2x)$$

   Требуется:

   $$-1 \le 5-2x \le 1$$

   Вычтем 5:

   $$-6 \le -2x \le -4$$

   Разделим на $$-2$$, поменяв знаки неравенств:

   $$3 \ge x \ge 2$$

   То есть $$x \in [2;3].$$

3. $$\arcsin \frac{x}{2}$$

   Требуется:

   $$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$$

   Умножим на $$2$$:

   $$-2 \le x \le 2$$

   Значит, $$x \in [-2;2].$$

4. $$\arcsin(x^2-3)$$

   Требуется:

   $$-1 \le x^2-3 \le 1$$

   Прибавим $$3$$:

   $$2 \le x^2 \le 4$$

   Отсюда:

   $$\sqrt{2} \le |x| \le 2$$

   Следовательно,

   $$x \in [-2;-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};2].$$

Ответ

а) $$x \in [-1;1]$$; б) $$x \in [2;3]$$; в) $$x \in [-2;2]$$; г) $$x \in [-2;-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};2].$$