Упр.16.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите: а) $$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)$$; б) $$\operatorname{tg}\left(\arcsin 0{,}6\right)$$; в) $$\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)$$; г) $$\operatorname{ctg}\left(\arcsin(-0{,}8)\right)$$.

Пусть $$\varphi=\arcsin x.$$ Тогда $$\sin\varphi=x,$$ а так как $$\varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ то $$\cos\varphi\ge 0.$$ Используем формулу $$\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}.$$

1. $$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

2. $$\tg(\arcsin 0{,}6)=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}, \quad \sin\varphi=0{,}6.$$

   $$\cos\varphi=\sqrt{1-0{,}6^2}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8,$$

   $$\tg(\arcsin 0{,}6)=\frac{0{,}6}{0{,}8}=\frac{3}{4}.$$

3. $$\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)=\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17}.$$

4. $$\ctg(\arcsin(-0{,}8))=\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}, \quad \sin\varphi=-0{,}8.$$

   $$\cos\varphi=\sqrt{1-(-0{,}8)^2}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6,$$

   $$\ctg(\arcsin(-0{,}8))=\frac{0{,}6}{-0{,}8}=-\frac{3}{4}.$$

Ответ: а) $$\frac{12}{13}$$; б) $$\frac{3}{4}$$; в) $$\frac{15}{17}$$; г) $$-\frac{3}{4}$$.