Упр.16.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$6\cos^2 t+\sin t>4$$; б) $$6\cos^2 t+\sin t\le 4$$.

а) $$6\cos^2 t+\sin t>4$$

$$6(1-\sin^2 t)+\sin t-4>0$$

$$-6\sin^2 t+\sin t+2>0$$

$$6\sin^2 t-\sin t-2<0$$

Пусть $$y=\sin t$$. Тогда

$$6y^2-y-2<0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=1+4\cdot 6\cdot 2=49$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{12}$$

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac23$$

Тогда

$$\left(y+\frac12\right)\left(y-\frac23\right)<0$$

Отсюда

$$-\frac12<\sin t<\frac23$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\arcsin\frac23+2\pi n$$

или

$$\pi-\arcsin\frac23+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$6\cos^2 t+\sin t\le 4$$

$$6(1-\sin^2 t)+\sin t-4\le 0$$

$$-6\sin^2 t+\sin t+2\le 0$$

$$6\sin^2 t-\sin t-2\ge 0$$

Пусть $$y=\sin t$$. Тогда

$$6y^2-y-2\ge 0$$

Корни те же:

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac23$$

Значит,

$$\sin t\le -\frac12 \quad \text{или} \quad \sin t\ge \frac23.$$

Отсюда

$$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n$$

или

$$\arcsin\frac23+2\pi n\le t\le \pi-\arcsin\frac23+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\arcsin\frac23+2\pi n$$ или $$\pi-\arcsin\frac23+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n$$ или $$\arcsin\frac23+2\pi n\le t\le \pi-\arcsin\frac23+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$