Упр.16.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$6\sin^2 x+\sin x=2$$;

б) $$3\cos^2 x=7(\sin x+1)$$.

a) Решим уравнение $$6\sin^2 x+\sin x=2.$$

Перенесём всё в одну сторону и сделаем замену $$t=\sin x$$:

$$6\sin^2 x+\sin x-2=0,$$

$$6t^2+t-2=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=1-4\cdot 6\cdot(-2)=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{12}.$$

Тогда

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-\frac23.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sin x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$\sin x=-\frac23 \quad \Rightarrow \quad x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac23+\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac23+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) Решим уравнение $$3\cos^2 x=7(\sin x+1).$$

Используем тождество $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$3(1-\sin^2 x)=7\sin x+7,$$

$$3-3\sin^2 x=7\sin x+7,$$

$$3\sin^2 x+7\sin x+4=0.$$

Сделаем замену $$t=\sin x$$:

$$3t^2+7t+4=0.$$

Найдём корни:

$$D=7^2-4\cdot 3\cdot 4=1,$$

$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 1}{6}.$$

Получаем:

$$t_1=-1,\qquad t_2=-\frac43.$$

Значение $$t_2=-\frac43$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1].$$

Остаётся

$$\sin x=-1,$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$