Упр.16.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$5\sin^2 t > 11\sin t + 12$$; б) $$5\sin^2 t \leq 11\sin t + 12$$.

Положим $$y=\sin t.$$ Тогда получаем квадратные неравенства.

а)

$$5\sin^2 t>11\sin t+12$$

$$5y^2-11y-12>0$$

Найдём корни уравнения $$5y^2-11y-12=0$$:

$$D=11^2-4\cdot 5\cdot(-12)=121+240=361,$$

$$y_{1,2}=\frac{11\pm 19}{10},$$

откуда

$$y_1=-\frac45=-0{,}8,\qquad y_2=3.$$

Тогда

$$5(y+0{,}8)(y-3)>0,$$

и с учётом того, что $$\sin t\in[-1;1],$$ получаем только

$$\sin t<-0{,}8.$$

Пусть $$\alpha=\arcsin 0{,}8.$$ Тогда

$$\sin t<-0{,}8 \iff \pi+\alpha+2\pi k<t<2\pi-\alpha+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б)

$$5\sin^2 t\le 11\sin t+12$$

$$5y^2-11y-12\le 0$$

Корни те же:

$$y_1=-0{,}8,\qquad y_2=3.$$

Значит,

$$5(y+0{,}8)(y-3)\le 0,$$

а с учётом $$\sin t\in[-1;1]$$ получаем

$$\sin t\ge -0{,}8.$$

Следовательно,

$$-\alpha+2\pi k\le t\le \pi+\alpha+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

где $$\alpha=\arcsin 0{,}8.$$

Ответ

а) $$\pi+\arcsin 0{,}8+2\pi k<t<2\pi-\arcsin 0{,}8+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) $$-\arcsin 0{,}8+2\pi k\le t\le \pi+\arcsin 0{,}8+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$