Упр.16.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin t < \frac{1}{3}$$; б) $$\sin t \ge -0{,}6$$; в) $$\sin t \ge \frac{1}{3}$$; г) $$\sin t < -0{,}6$$.

Используем свойства функции $$\sin t$$ и периодичность с периодом $$2\pi$$.

а)

Решаем уравнение $$\sin t=\frac13.$$

На окружности значения $$\sin t=\frac13$$ достигаются в точках

$$t_1=-\arcsin\frac13+2\pi n,\qquad t_2=\arcsin\frac13+\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Тогда при $$\sin t<\frac13$$ получаем промежуток между этими точками:

$$-\pi-\arcsin\frac13+2\pi n<t<\arcsin\frac13+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б)

Решаем уравнение $$\sin t=-0{,}6.$$

Точки равенства:

$$t_1=-\arcsin 0{,}6+2\pi n,\qquad t_2=\pi+\arcsin 0{,}6+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Так как требуется $$\sin t\ge -0{,}6$$, то

$$-\arcsin 0{,}6+2\pi n\le t\le \pi+\arcsin 0{,}6+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

в)

Решаем уравнение $$\sin t=\frac13.$$

Точки равенства:

$$t_1=\arcsin\frac13+2\pi n,\qquad t_2=\pi-\arcsin\frac13+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, при $$\sin t\ge \frac13$$ имеем

$$\arcsin\frac13+2\pi n\le t\le \pi-\arcsin\frac13+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

г)

Решаем уравнение $$\sin t=-0{,}6.$$

Точки равенства:

$$t_1=\pi+\arcsin 0{,}6+2\pi n,\qquad t_2=2\pi-\arcsin 0{,}6+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Так как требуется $$\sin t<-0{,}6$$, то

$$\pi+\arcsin 0{,}6+2\pi n<t<2\pi-\arcsin 0{,}6+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$