Упр.16.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство: а) $$\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$$; б) $$\sin t > -\frac{1}{2}$$; в) $$\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$$; г) $$\sin t \leq -\frac{1}{2}$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Его решения:

$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

На промежутке между этими точками синус больше $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, поэтому

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) Рассмотрим уравнение $$\sin t=-\frac{1}{2}.$$

Его решения:

$$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда при $$\sin t>-\frac{1}{2}$$ получаем

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

в) Рассмотрим уравнение $$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Как и в пункте а), его решения:

$$t=-\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

При $$\sin t<\frac{\sqrt{3}}{2}$$ получаем

$$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

г) Рассмотрим уравнение $$\sin t=-\frac{1}{2}.$$

Его решения:

$$t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad t=\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда при $$\sin t\le -\frac{1}{2}$$ имеем

$$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

б) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

в) $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

г) $$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$