Упр.16.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

• а) $$(2\cos x+1)(2\sin x-\sqrt{3})=0$$;
• б) $$2\cos x-3\sin x\cos x=0$$;
• в) $$4\sin^2 x-3\sin x=0$$;
• г) $$2\sin^2 x-1=0$$.

а) $$\left(2\cos x+1\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$2\cos x+1=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\sqrt{3}=0.$$

1) $$2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12,$$

откуда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

2) $$2\sin x-\sqrt{3}=0 \Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt3}{2},$$

откуда

$$x=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\; x=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k,\; k\in \mathbb Z.$$

б) $$2\cos x-3\sin x\cos x=0.$$

Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

$$\cos x\left(2-3\sin x\right)=0.$$

Тогда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2-3\sin x=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

2) $$2-3\sin x=0 \Rightarrow \sin x=\frac23,$$

откуда

$$x=(-1)^k\arcsin\frac23+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; x=(-1)^k\arcsin\frac23+\pi k,\; k\in \mathbb Z.$$

в) $$4\sin^2 x-3\sin x=0.$$

Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

$$\sin x\left(4\sin x-3\right)=0.$$

Тогда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 4\sin x-3=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

2) $$4\sin x-3=0 \Rightarrow \sin x=\frac34,$$

откуда

$$x=(-1)^k\arcsin\frac34+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pi k,\; x=(-1)^k\arcsin\frac34+\pi k,\; k\in \mathbb Z.$$

г) $$2\sin^2 x-1=0.$$

$$2\sin^2 x=1 \Rightarrow \sin^2 x=\frac12 \Rightarrow \sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\; k\in \mathbb Z.$$