Упр.15.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\cos\left(2\arccos\frac{1}{2}-3\arccos 0-\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$;
   б) $$\frac{1}{3}\left(\arccos\frac{1}{3}+\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$.

Воспользуемся определением арккосинуса:

$$\arccos \frac12=\frac{\pi}{3}, \qquad \arccos 0=\frac{\pi}{2}, \qquad \arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}.$$

а)
$$\cos\left(2\arccos \frac12-3\arccos 0-\arccos\left(-\frac12\right)\right) = \cos\left(2\cdot \frac{\pi}{3}-3\cdot \frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\right)$$
$$= \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\frac{3\pi}{2} = 0.$$

Ответ: $$0$$

б)
$$\frac13\left(\arccos \frac13+\arccos\left(-\frac13\right)\right).$$
Так как
$$\arccos\left(-x\right)=\pi-\arccos x,$$
то
$$\arccos\left(-\frac13\right)=\pi-\arccos\frac13.$$
Тогда
$$\frac13\left(\arccos \frac13+\arccos\left(-\frac13\right)\right) = \frac13\left(\arccos \frac13+\pi-\arccos \frac13\right) = \frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{3}$$