Упр.15.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$4\cos^2 t<1$$; б) $$3\cos^2 t<\cos t$$; в) $$9\cos^2 t>1$$; г) $$3\cos^2 t>\cos t$$.

Положим $$x=\cos t.$$ Тогда каждое неравенство сводится к квадратному относительно $$x$$.

а)

$$4\cos^2 t<1$$

$$4x^2-1<0$$

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)<0$$

Отсюда

$$-\frac12<x<\frac12,$$

то есть

$$-\frac12<\cos t<\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б)

$$3\cos^2 t<\cos t$$

$$3x^2-x<0$$

$$x(3x-1)<0$$

Отсюда

$$0<x<\frac13,$$

то есть

$$0<\cos t<\frac13.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<-\arccos\frac13+2\pi k$$

или

$$\arccos\frac13+2\pi k<t<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

в)

$$9\cos^2 t>1$$

$$9x^2-1>0$$

$$\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)>0$$

Отсюда

$$x<-\frac13 \quad \text{или} \quad x>\frac13,$$

то есть

$$\cos t<-\frac13 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac13.$$

Следовательно,

$$-\arccos\frac13+\pi k<t<\arccos\frac13+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

г)

$$3\cos^2 t>\cos t$$

$$3x^2-x>0$$

$$x(3x-1)>0$$

Отсюда

$$x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac13,$$

то есть

$$\cos t<0 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac13.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi k$$

или

$$-\arccos\frac13+2\pi k<t<\arccos\frac13+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$