Упр.15.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\cos x=\frac{1}{2},\quad x\in(1;6)$$; б) $$\cos x=-\frac{1}{2},\quad x\in(2;10)$$; в) $$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad x\in\left(-\frac{\pi}{4};12\right)$$; г) $$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2},\quad x\in\left(-4;\frac{5\pi}{4}\right)$$.

а) Для уравнения $$\cos x=\frac12$$ имеем общий вид решений:

$$x=\pm \arccos \frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

На промежутке $$x\in(1;6)$$ подходят значения:

$$x=\frac{\pi}{3},\quad x=\frac{5\pi}{3}.$$

б) Для уравнения $$\cos x=-\frac12$$ получаем:

$$x=\pm\left(\pi-\arccos \frac12\right)+2\pi n=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

На промежутке $$x\in(2;10)$$ подходят значения:

$$x=\frac{2\pi}{3},\quad x=\frac{4\pi}{3},\quad x=\frac{8\pi}{3}.$$

в) Для уравнения $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$ имеем:

$$x=\pm \arccos \frac{\sqrt2}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

На промежутке $$x\in\left(-\frac{\pi}{4};12\right)$$ подходят значения:

$$x=\frac{\pi}{4},\quad x=\frac{7\pi}{4},\quad x=\frac{9\pi}{4},\quad x=\frac{15\pi}{4}.$$

г) Для уравнения $$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$$ получаем:

$$x=\pm\left(\pi-\arccos \frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

На промежутке $$x\in\left(-4;\frac{5\pi}{4}\right)$$ подходят значения:

$$x=-\frac{5\pi}{4},\quad x=-\frac{3\pi}{4},\quad x=\frac{3\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}$$; б) $$\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}$$; в) $$\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4},\ \frac{15\pi}{4}$$; г) $$-\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}$$.