Упр.15.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$3\cos^2 t-4\cos t\geq 4$$;
б) $$6\cos^2 t+1>5\cos t$$;
в) $$3\cos^2 t-4\cos t<4$$;
г) $$6\cos^2 t+1\leq 5\cos t$$.
Положим $$y=\cos t.$$ Тогда получаем квадратные неравенства.
а)
$$3\cos^2 t-4\cos t\ge 4$$
$$3y^2-4y-4\ge 0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=64$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 8}{6}$$
$$y_1=-\frac{2}{3},\qquad y_2=2$$
Тогда
$$\left(y+\frac{2}{3}\right)(y-2)\ge 0,$$
откуда с учётом $$-1\le \cos t\le 1$$ получаем
$$\cos t\le -\frac{2}{3}.$$
Следовательно,
$$\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)+2\pi n\le t\le 2\pi-\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б)
$$6\cos^2 t+1>5\cos t$$
$$6y^2-5y+1>0$$
$$D=25-24=1$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 1}{12}$$
$$y_1=\frac{1}{3},\qquad y_2=\frac{1}{2}$$
Тогда
$$\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)>0,$$
откуда
$$\cos t<\frac{1}{3}\quad \text{или}\quad \cos t>\frac{1}{2}.$$
Значит,
$$-\arccos\frac{1}{3}+2\pi n<t<\arccos\frac{1}{3}+2\pi n$$
или
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в)
$$3\cos^2 t-4\cos t<4$$
$$3y^2-4y-4<0$$
$$\left(y+\frac{2}{3}\right)(y-2)<0$$
С учётом $$-1\le \cos t\le 1$$ получаем
$$-\frac{2}{3}<\cos t\le 1.$$
Следовательно,
$$-\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)+2\pi n<t<\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г)
$$6\cos^2 t+1\le 5\cos t$$
$$6y^2-5y+1\le 0$$
$$\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)\le 0$$
Отсюда
$$\frac{1}{3}\le \cos t\le \frac{1}{2}.$$
Значит,
$$\arccos\frac{1}{2}+2\pi n\le t\le \arccos\frac{1}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
то есть
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \arccos\frac{1}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)+2\pi n\le t\le 2\pi-\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$-\arccos\frac{1}{3}+2\pi n<t<\arccos\frac{1}{3}+2\pi n\ \cup\ -\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$-\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)+2\pi n<t<\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \arccos\frac{1}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
