Упр.15.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\cos t > \frac{1}{2}$$; б) $$\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$; в) $$\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$; г) $$\cos t < \frac{1}{2}$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$\cos t>\frac12$$

   Границы промежутка задаются уравнением

   $$\cos t=\frac12.$$

   Отсюда

   $$t=\pm \arccos \frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Так как $$\cos t>\frac12$$, получаем

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2. $$\cos t\le -\frac{\sqrt2}{2}$$

   Решаем уравнение

   $$\cos t=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$t=\pm \arccos\!\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

3. $$\cos t\ge -\frac{\sqrt2}{2}$$

   Границы те же:

   $$\cos t=-\frac{\sqrt2}{2}\quad \Rightarrow \quad t=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Тогда искомое множество значений:

   $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

4. $$\cos t<\frac12$$

   Границы:

   $$\cos t=\frac12 \quad \Rightarrow \quad t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Значит,

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z;$$
б) $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z;$$
в) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z;$$
г) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$