Упр.15.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$6\cos^2 t+5\cos t+1=0$$; б) $$3+9\cos t=5\sin^2 t$$.

а) Сделаем замену: $$\cos t=x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$6x^2+5x+1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{2\cdot 6}.$$

Получаем:

$$x_1=-\frac13,\qquad x_2=-\frac12.$$

Возвращаемся к переменной $$t$$:

$$\cos t=-\frac13,\qquad \cos t=-\frac12.$$

Отсюда

$$t=\pm \arccos\left(-\frac13\right)+2\pi n,\qquad t=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) Преобразуем уравнение, используя $$\sin^2 t=1-\cos^2 t$$:

$$3+9\cos t=5\sin^2 t=5-5\cos^2 t.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$5\cos^2 t+9\cos t-2=0.$$

Сделаем замену $$\cos t=x$$. Тогда

$$5x^2+9x-2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=9^2-4\cdot 5\cdot(-2)=81+40=121.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{2\cdot 5}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac15,\qquad x_2=-2.$$

Значение $$x_2=-2$$ не подходит, так как $$\cos t\in[-1;1].$$ Значит,

$$\cos t=\frac15.$$

Следовательно,

$$t=\pm \arccos\frac15+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$t=\pm \arccos\left(-\frac13\right)+2\pi n,\; t=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$t=\pm \arccos\frac15+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$