Упр.15.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\frac{8\cos t-3}{3\cos t+2}=1$$; б) $$\frac{3\cos t+1}{2}+\frac{5\cos t-1}{3}=1{,}75$$.

а) $$\frac{8\cos t-3}{3\cos t+2}=1$$

Перенесём $$1$$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{8\cos t-3}{3\cos t+2}-1=0$$

$$\frac{8\cos t-3-(3\cos t+2)}{3\cos t+2}=0$$

$$\frac{5\cos t-5}{3\cos t+2}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$5\cos t-5=0,\qquad 3\cos t+2\ne 0$$

$$\cos t=1,\qquad \cos t\ne -\frac23$$

Значение $$\cos t=1$$ подходит, поэтому

$$t=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\frac{3\cos t+1}{2}+\frac{5\cos t-1}{3}=1{,}75$$

Умножим уравнение на $$6$$:

$$3(3\cos t+1)+2(5\cos t-1)=10{,}5$$

$$9\cos t+3+10\cos t-2=10{,}5$$

$$19\cos t+1=10{,}5$$

$$19\cos t=9{,}5$$

$$\cos t=\frac{9{,}5}{19}=\frac12$$

Тогда

$$t=\pm \arccos\frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$t=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.