Упр.14.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию $$f=f(x)$$ на чётность:
   а) $$f(x)=\tg x-\cos x$$;
   б) $$f(x)=\tg x+x$$;
   в) $$f(x)=\ctg^2 x-x^4$$;
   г) $$f(x)=x^3-\ctg x$$.

Проверим для каждой функции, выполняется ли равенство $$f(-x)=f(x)$$ или $$f(-x)=-f(x).$$

1. $$f(x)=\tg x-\cos x$$

   Область определения симметрична относительно нуля, так как $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Найдём $$f(-x):$$

   $$f(-x)=\tg(-x)-\cos(-x)=-\tg x-\cos x.$$

   Это не равно ни $$f(x)=\tg x-\cos x,$$ ни $$-f(x)=-\tg x+\cos x.$$

   Ответ: ни чётная, ни нечётная.

2. $$f(x)=\tg x+x$$

   Область определения симметрична относительно нуля, так как $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Найдём $$f(-x):$$

   $$f(-x)=\tg(-x)+(-x)=-\tg x-x=-(\tg x+x)=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

   Ответ: нечётная.

3. $$f(x)=\ctg^2 x-x^4$$

   Область определения симметрична относительно нуля, так как $$x\ne \pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Найдём $$f(-x):$$

   $$f(-x)=\ctg^2(-x)-(-x)^4=(-\ctg x)^2-x^4=\ctg^2 x-x^4=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

   Ответ: чётная.

4. $$f(x)=x^3-\ctg x$$

   Область определения симметрична относительно нуля, так как $$x\ne \pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Найдём $$f(-x):$$

   $$f(-x)=(-x)^3-\ctg(-x)=-x^3+\ctg x=-(x^3-\ctg x)=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

   Ответ: нечётная.