Упр.14.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите графически уравнение: а) $$\operatorname{ctg} x=1$$; б) $$\operatorname{ctg} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; в) $$\operatorname{ctg} x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$; г) $$\operatorname{ctg} x=0$$.

Для уравнения $$\ctg x = a$$ решения повторяются с периодом $$\pi$$, поэтому достаточно найти одну точку пересечения графиков и записать общий вид решения.

Ход решения

1. $$\ctg x = 1$$

   Графики $$y=\ctg x$$ и $$y=1$$ пересекаются при $$x=\frac{\pi}{4}$$. Тогда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\ctg x=\frac{\sqrt3}{3}$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{\pi}{3}$$. Значит,

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\ctg x=-\frac{\sqrt3}{3}$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{2\pi}{3}$$, поэтому

   $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\ctg x=0$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{\pi}{2}$$. Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.