Упр.14.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\cot x$$ на заданном промежутке:
   а) на отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$;
   б) на полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)$$;
   в) на интервале $$(-\pi;0)$$;
   г) на отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{4}\right]$$.

Функция $$y=\operatorname{ctg}x$$ на каждом из указанных промежутков убывает там, где она определена. Поэтому достаточно сравнить значения на концах промежутков и учесть точки разрыва.

1. На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция непрерывна.

   $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}=1,$$
   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}=0.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$

2. На полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ функция определена, но в точке $$x=\pi$$ имеет разрыв, поэтому наименьшего значения нет.

   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}=0.$$

   Значит, $$y_{\max}=0,$$ а $$y_{\min}$$ не существует.

3. На интервале $$(-\pi;0)$$ функция имеет разрывы в точках $$x=-\pi$$ и $$x=0$$, поэтому ни наименьшего, ни наибольшего значения нет.

   Следовательно, $$y_{\min}$$ не существует и $$y_{\max}$$ не существует.

4. На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{4}\right]$$ функция непрерывна на каждом участке, а значения на концах равны:

   $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=\sqrt{3},$$
   $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}=-1.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=\sqrt{3}.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1$$;
б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=0$$;
в) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}$$ не существует;
г) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=\sqrt{3}$$.