Упр.14.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Используем тождество $$\tg t\cdot \ctg t=1$$ там, где обе функции определены.

а)

$$y=\tg(\cos x)\cdot \ctg(\cos x)=1.$$

Чтобы выражение было определено, нужно, чтобы

$$\cos x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

а для котангенса дополнительно

$$\cos x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как $$|\cos x|\le 1,$$ то условие $$\cos x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$ выполняется автоматически, а из условия для котангенса остаётся

$$\cos x\ne 0,$$

то есть

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, график функции — прямая $$y=1$$ с выколотыми точками при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

б)

$$y=-2\tg(\sin x)\cdot \ctg(\sin x)=-2.$$

Область определения задаётся условиями

$$\sin x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и

$$\sin x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как $$|\sin x|\le 1,$$ первое условие выполняется автоматически, а из второго получаем

$$\sin x\ne 0,$$

то есть

$$x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит, график функции — прямая $$y=-2$$ с выколотыми точками при $$x=\pi n.$$

Ответ

а) $$y=1,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$y=-2,\quad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$