Упр.14.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

График функции $$y=\ctg x$$ сдвигается:

• влево на $$\frac{\pi}{2}$$ для функции $$y=\ctg\left(x+\frac{\pi}{2}\right);$$
• вверх на $$1$$ для функции $$y=\ctg x+1;$$
• вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ для функции $$y=\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right);$$
• вниз на $$2$$ для функции $$y=\ctg x-2.$$

а)

Для функции $$y=\ctg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$ центр главной ветви получаем из условия

$$x+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow \quad x=0,$$

значит, центр ветви находится в точке $$\left(0,0\right).$$

Вертикальные асимптоты задаются уравнениями

$$x+\frac{\pi}{2}=k\pi \quad \Rightarrow \quad x=k\pi-\frac{\pi}{2}, \quad k\in\mathbb{Z}.$$

Главная ветвь расположена на промежутке

$$-\frac{\pi}{2}

б)

Для функции $$y=\ctg x+1$$ график $$y=\ctg x$$ сдвигается вверх на $$1.$$

Центр главной ветви:

$$x_0=\frac{\pi}{2}, \qquad y_0=0+1=1.$$

Значит, центр ветви — точка $$\left(\frac{\pi}{2},1\right).$$

Вертикальные асимптоты:

$$x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Главная ветвь лежит на промежутке

$$0<x<\pi.$$

в)

Для функции $$y=\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$ график $$y=\ctg x$$ сдвигается вправо на $$\frac{\pi}{3}.$$

Центр главной ветви:

$$x+\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6},$$

поэтому центр ветви — точка $$\left(\frac{5\pi}{6},0\right).$$

Вертикальные асимптоты:

$$x-\frac{\pi}{3}=k\pi \quad \Rightarrow \quad x=k\pi+\frac{\pi}{3}, \quad k\in\mathbb{Z}.$$

Главная ветвь расположена на промежутке

$$\frac{\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}.$$

г)

Для функции $$y=\ctg x-2$$ график $$y=\ctg x$$ сдвигается вниз на $$2.$$

Центр главной ветви:

$$x_0=\frac{\pi}{2}, \qquad y_0=0-2=-2.$$

Значит, центр ветви — точка $$\left(\frac{\pi}{2},-2\right).$$

Вертикальные асимптоты:

$$x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Главная ветвь лежит на промежутке

$$0<x<\pi.$$

Ответ

а) $$y=\ctg\left(x+\frac{\pi}{2}\right),\ \text{центр } \left(0,0\right),\ \text{асимптоты } x=k\pi-\frac{\pi}{2}.$$

б) $$y=\ctg x+1,\ \text{центр } \left(\frac{\pi}{2},1\right),\ \text{асимптоты } x=k\pi.$$

в) $$y=\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right),\ \text{центр } \left(\frac{5\pi}{6},0\right),\ \text{асимптоты } x=k\pi+\frac{\pi}{3}.$$

г) $$y=\ctg x-2,\ \text{центр } \left(\frac{\pi}{2},-2\right),\ \text{асимптоты } x=k\pi.$$