Упр.14.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\tg x$$ на заданном промежутке: а) на интервале $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)$$; б) на полуинтервале $$\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right]$$; в) на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{6}\right]$$; г) на полуинтервале $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$.

Функция $$y=\tg x$$ на каждом промежутке, где она определена, возрастает.

1. На интервале $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция имеет разрывы в точках $$x=\frac{\pi}{2}$$ и $$x=\frac{3\pi}{2}$$, поэтому не ограничена ни сверху, ни снизу.

   Ответ: $$y_{\min}$$ не существует; $$y_{\max}$$ не существует.

2. На полуинтервале $$\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right]$$ функция не имеет разрывов. Так как она возрастает, наименьшее значение не достигается, а наибольшее достигается в правом конце:

   $$y(\pi)=\tg \pi=0.$$

   Ответ: $$y_{\min}$$ не существует; $$y_{\max}=0.$$

3. На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{6}\right]$$ функция непрерывна и возрастает, значит минимум и максимум достигаются на концах отрезка:

   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

   $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-1; \quad y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

4. На полуинтервале $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция не имеет разрывов внутри промежутка и возрастает. Поэтому

   $$y(\pi)=\tg \pi=0,$$

   а наибольшее значение не существует, так как при $$x\to \frac{3\pi}{2}-0$$ имеем $$\tg x\to +\infty.$$

   Ответ: $$y_{\min}=0; \quad y_{\max}$$ не существует.