Упр.14.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что число $$\pi$$ является периодом функции:

1. $$y=\tg x+\sin 2x-\tg 3x-\cos 4x$$;
2. $$y=\sin 3x+\cos 5x+\ctg x-2\tg 2x$$.

Проверим, сохраняется ли значение функции при замене $$x$$ на $$x+\pi$$.

а)

$$y=\tg x+\sin 2x-\tg 3x-\cos 4x.$$

Найдём значение функции при $$x+\pi$$:

$$\begin{aligned} y(x+\pi)&=\tg(x+\pi)+\sin 2(x+\pi)-\tg 3(x+\pi)-\cos 4(x+\pi)\\ &=\tg x+\sin(2x+2\pi)-\tg(3x+3\pi)-\cos(4x+4\pi)\\ &=\tg x+\sin 2x-\tg 3x-\cos 4x\\ &=y(x). \end{aligned}$$

Следовательно, $$\pi$$ — период данной функции.

б)

$$y=\sin 3x+\cos 5x+\ctg x-2\tg 2x.$$

Проверим сдвиг на $$\pi$$:

$$\begin{aligned} y(x+\pi)&=\sin 3(x+\pi)+\cos 5(x+\pi)+\ctg(x+\pi)-2\tg 2(x+\pi)\\ &=\sin(3x+3\pi)+\cos(5x+5\pi)+\ctg x-2\tg(2x+2\pi)\\ &=-\sin 3x-\cos 5x+\ctg x-2\tg 2x. \end{aligned}$$

Это не равно $$y(x)$$, значит $$\pi$$ не является периодом данной функции.

Ответ

а) $$\pi$$ — период функции; б) $$\pi$$ не является периодом функции.