Упр.13.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$:

а) $$f(x)=\begin{cases}3\sin x, & x<\frac{\pi}{2},\\ 2\cos x+3, & x\geq\frac{\pi}{2};\end{cases}$$

б) $$f(x)=\begin{cases}-2\cos x, & x<0,\\ \frac{1}{2}x^4, & x\geq0.\end{cases}$$

а) Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} 3\sin x, & x<\dfrac{\pi}{2},\\ 2\cos x+3, & x\ge \dfrac{\pi}{2}. \end{cases}$$

Проверим значение в точке склейки:

$$3\sin \dfrac{\pi}{2}=3,\qquad 2\cos \dfrac{\pi}{2}+3=3.$$

Значит, графики обеих частей соединяются в точке $$\left(\dfrac{\pi}{2},\,3\right)$$.

Для первой части строим график $$y=3\sin x$$ при $$x<\dfrac{\pi}{2}$$, для второй — график $$y=2\cos x+3$$ при $$x\ge \dfrac{\pi}{2}$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[-3;5]$$;
• возрастает на $$\left[-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n;\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right]\cup\left[\pi+2\pi n;2\pi+2\pi n\right]$$;
• убывает на $$\left[-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n;-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\cup\left[2\pi+2\pi n;3\pi+2\pi n\right]$$;
• $$f(x)>0$$ на $$(-2\pi-2\pi n;-\pi-2\pi n)\cup(0;+\infty)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$(-\pi-2\pi n;-2\pi n)$$;
• ограничена сверху и снизу;
• $$y_{\min}=-3,\qquad y_{\max}=5$$;
• ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;+\infty)$$.

б) Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} -2\cos x, & x<0,\\ \dfrac12 x^4, & x\ge 0. \end{cases}$$

Проверим значение в точке склейки:

$$-2\cos 0=-2,\qquad \dfrac12\cdot 0^4=0.$$

В точке $$x=0$$ получается разрыв.

Для левой части строим график $$y=-2\cos x$$ при $$x<0$$, для правой — график $$y=\dfrac12 x^4$$ при $$x\ge 0$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[-2;+\infty)$$;
• возрастает на $$[-2\pi-2\pi n;-\pi-2\pi n]\cup[0;+\infty)$$;
• убывает на $$[-\pi-2\pi n;-2\pi n]$$;
• $$f(x)>0$$ на $$\left(-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n;-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right)\cup(0;+\infty)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$\left(-\dfrac{5\pi}{2}-2\pi n;-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n\right)\cup\left(-\dfrac{\pi}{2};0\right)$$;
• ограничена снизу;
• $$y_{\min}=-2$$;
• ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.