Упр.13.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=2\cos x$$: а) на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$; б) на интервале $$\left(0;\frac{3\pi}{2}\right)$$; в) на полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$; г) на отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right]$$.

Функция $$y=2\cos x$$ принимает значения в зависимости от поведения косинуса на заданном промежутке.

а)

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ и убывает на $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.

Проверим значения в концах отрезка и в точке максимума:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0, \\\\ y(0)=2\cos 0=2, \\\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=2.$$

б)

На интервале $$\left(0;\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция убывает на $$\left(0;\pi\right]$$ и возрастает на $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right).$$

Найдём значения в характерных точках:

$$y(0)=2\cos 0=2, \\\\ y(\pi)=2\cos\pi=-2, \\\\ y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$$

Наименьшее значение достигается в точке $$x=\pi$$ и равно $$-2.$$ Наибольшего значения на данном интервале функция не достигает, так как точка $$x=0$$ не входит в интервал, а значение $$2$$ только к нему стремится.

Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}$$ не существует.

в)

На полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция убывает на $$\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]$$ и возрастает на $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right).$$

Проверим значения в точках $$x=\frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}:$$

$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}=1, \\\\ y(\pi)=2\cos\pi=-2, \\\\ y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$$

Значит, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=1.$$

г)

На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right]$$ функция возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\pi\right]$$ и убывает на $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{4}\right].$$

Найдём значения в концах отрезка и в точке $$x=-\pi:$$

$$y\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=0, \\\\ y(-\pi)=2\cos(-\pi)=2\cos\pi=-2, \\\\ y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=\sqrt{2}.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=2$$; б) $$y_{\min}=-2,$\ y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=1$$; г) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=\sqrt{2}.$$