Упр.13.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=\frac12\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right).$$

Найдём нули функции:

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=0,$$

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}=\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возьмём соседние нули:

$$x_0=-\frac{\pi}{3},\qquad x_1=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}.$$

Середина дуги:

$$x=\frac12\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}.$$

В этой точке

$$y=\frac12\sin\left(\frac{2\pi}{3}\cdot\frac12+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12\sin\frac{\pi}{2}=\frac12.$$

Значит, график — синусоида с амплитудой $$\frac12$$, периодом $$4\pi$$ и сдвигом влево на $$\frac{\pi}{3}$$.

б) Рассмотрим функцию $$y=-\frac32\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right).$$

Найдём нули функции:

$$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=0,$$

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Соседние нули можно взять в виде

$$x_0=-\frac{\pi}{3},\qquad x_1=\frac{5\pi}{3}.$$

Середина дуги:

$$x=\frac12\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}.$$

Тогда

$$y=-\frac32\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac32\cos 0=-\frac32.$$

Следовательно, график — косинусоида с амплитудой $$\frac32$$, периодом $$4\pi$$ и сдвигом вправо на $$\frac{2\pi}{3}$$, отражённая относительно оси $$Ox$$.

Ответ

а) График функции $$y=\frac12\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$; б) график функции $$y=-\frac32\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$$.