Упр.13.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=-2\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Это график функции $$y=\cos x,$$ с преобразованиями:

• сжатие по оси $$x$$ в 2 раза;
• сдвиг влево на $$\frac{\pi}{3}$$;
• отражение относительно оси $$x$$;
• растяжение по оси $$y$$ в 2 раза.

Нули функции найдём из уравнения:

$$\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

$$x=-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Для построения удобно взять ближайшие нули:

$$x_0=-\frac{7\pi}{12},\qquad x_1=-\frac{\pi}{12}.$$

Середина дуги между ними:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{\pi}{3},$$

$$y=-2\cos 2\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=-2\cos 0=-2.$$

Значит, на графике отмечаем точку $$\left(-\frac{\pi}{3},-2\right)$$ и строим косинусоиду с амплитудой $$2$$ и периодом $$\pi.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=-2\sin 3\left(x+\frac{\pi}{2}\right).$$

Это график функции $$y=\sin x,$$ с преобразованиями:

• сжатие по оси $$x$$ в 3 раза;
• сдвиг влево на $$\frac{\pi}{2}$$;
• отражение относительно оси $$x$$;
• растяжение по оси $$y$$ в 2 раза.

Нули функции найдём из уравнения:

$$\sin 3\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

$$3\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\pi n$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{3}.$$

Берём ближайшие нули:

$$x_0=-\frac{\pi}{2},\qquad x_1=-\frac{\pi}{6}.$$

Середина дуги:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\pi}{3},$$

$$y=-2\sin 3\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right)=-2\sin\frac{\pi}{2}=-2.$$

Следовательно, график — синусоида с амплитудой $$2$$ и периодом $$\frac{2\pi}{3}.$$

Ответ

а) График функции $$y=-2\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$; б) график функции $$y=-2\sin 3\left(x+\frac{\pi}{2}\right).$$