Упр.13.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\sin 2x$$: а) на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$; б) на интервале $$\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$; в) на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$; г) на полуинтервале $$\left(0;\pi\right]$$.

Рассмотрим функцию $$y=\sin 2x.$$

а) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$

Пусть $$t=2x.$$ Тогда при $$x\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ получаем $$t\in[-\pi;0].$$ На этом промежутке функция $$\sin t$$ принимает наименьшее значение $$-1$$ при $$t=-\frac{\pi}{2}$$ и наибольшее значение $$0$$ при $$t=-\pi$$ или $$t=0.$$

Значит,

$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=0.$$

б) На интервале $$\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$

Пусть $$t=2x.$$ Тогда $$t\in\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right).$$ На этом промежутке функция $$\sin t$$ достигает наибольшего значения $$1$$ при $$t=\frac{\pi}{2},$$ а наименьшее значение $$-1$$ не достигается, так как точка $$t=-\frac{\pi}{2}$$ не входит в интервал.

Следовательно,

$$y_{\min}\text{ — не существует},\qquad y_{\max}=1.$$

в) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$

Пусть $$t=2x.$$ Тогда $$t\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$ На этом отрезке функция $$\sin t$$ возрастает, поэтому

$$y_{\min}=\sin\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$

$$y_{\max}=\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

г) На полуинтервале $$\left(0;\pi\right]$$

Пусть $$t=2x.$$ Тогда $$t\in(0;2\pi].$$ На этом промежутке функция $$\sin t$$ принимает значения от $$-1$$ до $$1,$$ причём

$$y_{\min}=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,$$

$$y_{\max}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=0.$$
б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=1.$$
в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1.$$
г) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1.$$