Упр.13.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$; б) $$y=\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right).$$

Это график функции $$y=\sin x,$$ сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{2}$$ и растянутый по оси $$Oy$$ в 3 раза.

Нули функции найдём из уравнения:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0,$$

$$x+\frac{\pi}{2}=\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Для построения удобно отметить точки:

$$x_0=-\frac{\pi}{2},\qquad x_1=\frac{\pi}{2}.$$

Середина дуги между ними:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=0,$$

$$y=3\sin\left(0+\frac{\pi}{2}\right)=3.$$

Значит, график проходит через точку $$\left(0,3\right)$$ и имеет амплитуду $$3.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Это график функции $$y=\cos x,$$ сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{3}$$ и растянутый по оси абсцисс в 2 раза.

Нули функции найдём из уравнения:

$$\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0,$$

$$\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x+\frac{\pi}{3}=\pi+2\pi n,$$

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Для построения удобно взять соседние точки пересечения с осью $$Ox$$:

$$x_0=-\frac{4\pi}{3},\qquad x_1=\frac{2\pi}{3}.$$

Середина дуги:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{4\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\pi}{3},$$

$$y=\cos\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 0=1.$$

Следовательно, график проходит через точку $$\left(-\frac{\pi}{3},1\right)$$ и имеет период $$4\pi.$$

Ответ

а) $$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$ — синусоида с амплитудой $$3$$, сдвинутая влево на $$\frac{\pi}{2}.$$

б) $$y=\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$ — косинусоида с периодом $$4\pi$$, сдвинутая влево на $$\frac{\pi}{3}.$$