Упр.13.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=\begin{cases}\cos 2x, & x\leq\pi,\\-\frac{1}{2}, & x>\pi;\end{cases}$$
б) $$f(x)=\begin{cases}-\sin 3x, & x<0,\\\sqrt{x}, & x\geq 0.\end{cases}$$
а) Для функции
$$f(x)= \begin{cases} \cos 2x, & x\le \pi,\\ -\dfrac12, & x>\pi \end{cases}$$
при $$x\le \pi$$ строим график функции $$y=\cos 2x$$, а при $$x>\pi$$ — горизонтальную прямую $$y=-\dfrac12$$. В точке $$x=\pi$$ имеем
$$f(\pi)=\cos 2\pi=1,$$
поэтому на графике в точке $$\left(\pi,1\right)$$ — закрашенная точка, а точка $$\left(\pi,-\dfrac12\right)$$ не принадлежит графику.
График имеет разрыв при $$x=\pi$$.
Свойства функции:
- $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
- $$E(f)=[-1;1]$$;
- функция ограничена сверху и снизу;
- на $$(-\infty;\pi]$$ ведёт себя как $$y=\cos 2x$$, а на $$(\pi;+\infty)$$ постоянна;
- ни чётная, ни нечётная;
- не является периодической.
б) Для функции
$$f(x)= \begin{cases} -\sin 3x, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0 \end{cases}$$
при $$x<0$$ строим график функции $$y=-\sin 3x$$, а при $$x\ge 0$$ — график функции $$y=\sqrt{x}$$. В точке $$x=0$$
$$f(0)=\sqrt{0}=0,$$
поэтому графики соединяются в начале координат.
Свойства функции:
- $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
- $$E(f)=[-1;+\infty)$$;
- функция ограничена снизу: $$y_{\min}=-1$$;
- не является периодической;
- ни чётная, ни нечётная;
- непрерывна на $$(-\infty;0)$$ и $$[0;+\infty)$$, в точке $$x=0$$ — излом.
Ответ
а) График состоит из части $$y=\cos 2x$$ при $$x\le \pi$$ и горизонтальной прямой $$y=-\dfrac12$$ при $$x>\pi$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=[-1;1]$$.
б) График состоит из части $$y=-\sin 3x$$ при $$x<0$$ и графика $$y=\sqrt{x}$$ при $$x\ge 0$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=[-1;+\infty)$$.
