Упр.12.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\sin(x+2\pi)+\sin(x-4\pi)=1$$; б) $$3\cos(2\pi+x)+\cos(x-2\pi)+2=0$$; в) $$\sin(x+4\pi)+\sin(x-6\pi)=\sqrt{3}$$; г) $$\cos(x+2\pi)+\cos(x-8\pi)=\sqrt{2}$$.

Используем периодичность тригонометрических функций: $$\sin(x+2\pi)=\sin x,\quad \sin(x-4\pi)=\sin x,\quad \cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \cos(x-2\pi)=\cos x.$$

1. $$\sin(x+2\pi)+\sin(x-4\pi)=1$$

   $$\sin x+\sin x=1$$

   $$2\sin x=1$$

   $$\sin x=\frac12$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$3\cos(2\pi+x)+\cos(x-2\pi)+2=0$$

   $$3\cos x+\cos x+2=0$$

   $$4\cos x=-2$$

   $$\cos x=-\frac12$$

   Следовательно,

   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin(x+4\pi)+\sin(x-6\pi)=\sqrt3$$

   $$\sin x+\sin x=\sqrt3$$

   $$2\sin x=\sqrt3$$

   $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos(x+2\pi)+\cos(x-8\pi)=\sqrt2$$

   $$\cos x+\cos x=\sqrt2$$

   $$2\cos x=\sqrt2$$

   $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Значит,

   $$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.