Упр.12.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите тождество: а) $$\sin^2(x-8\pi)=1-\cos^2(16\pi-x)$$; б) $$\cos^2(4\pi+x)=1-\sin^2(22\pi-x)$$.

Используем периодичность тригонометрических функций и основные тождества:

1. $$\sin^2(x-8\pi)=\sin^2(x-4\cdot 2\pi)=\sin^2 x,$$
   а также
   $$1-\cos^2(16\pi-x)=1-\cos^2(8\cdot 2\pi-x)=1-\cos^2(-x)=1-\cos^2 x=\sin^2 x.$$
   Следовательно,
   $$\sin^2(x-8\pi)=1-\cos^2(16\pi-x).$$
2. $$\cos^2(4\pi+x)=\cos^2(2\cdot 2\pi+x)=\cos^2 x,$$
   а также
   $$1-\sin^2(22\pi-x)=1-\sin^2(11\cdot 2\pi-x)=1-\sin^2(-x)=1-\sin^2 x=\cos^2 x.$$
   Следовательно,
   $$\cos^2(4\pi+x)=1-\sin^2(22\pi-x).$$

Тождества доказаны.